Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Амплитуда, частота и фаза колебаний. Гармонический осциллятор: виды и применение

Одежда 22.09.2019

Одежда

Рассмотрим простую физическую систему – материальную точку, способную без трения колебаться на горизонтальной поверхности под действием силы Гука (см. рис. 2).

Если смещение груза невелико (много меньше, чем длина недеформированной пружины), а жесткость пружины равна k, то но груз действует единственная сила, сила Гука. Тогда уравнение

движения груза (Второй закон Ньютона) имеет вид

Перенеся слагаемые в левую часть равенства и разделив на массу материальной точки (массой пружины пренебрегаем по сравнению с m), получим уравнение движения

(*) ,

период колебаний.

Тогда, взяв функцию

и продифференцировав её по времени, убеждаемся, во-первых, что скорость движения груза равна

а во-вторых, после повторного дифференцирования,

то есть X(t) действительно является решением уравнения груза на пружинке.

Такая система, вообще, любая система, механическая, электрическая или иная, обладающая уравнением движения (*), называется гармоническим осциллятором. Функция типа X(t) носит название закона движения гармонического осциллятора, величины
называютсяамплитудой ,циклической илисобственной частотой ,начальной фазой . Собственная частота определяется параметрами осциллятора, амплитуда и начальная фаза задаются начальными условиями.

Закон движения X(t) представляет собой свободные колебания. Такие колебания совершают незатухающие маятники (математический или физический), ток и напряжения в идеальном колебательном контуре и некоторые другие системы.

Гармонические колебания могут складываться как в одном, так и в различных направлениях. Результатом сложения тоже оказывается гармоническое колебание, например,

Это принцип суперпозиции (наложения) колебаний.

Математики разработали теорию рядов такого рода, которые называются рядами Фурье. Имеется также ряд обобщений типа интегралов Фурье (частоты могут меняться непрерывным образом) и даже интегралы Лапласа, работающие с комплексными частотами.

§15. Затухающий осциллятор. Вынужденные колебания.

Реальные механические системы всегда обладают, хотя бы малым, трением. Простейший случай – жидкое или вязкое трение. Это трение, величина которого пропорционально скорости движения системы (и направлена, естественно, против направления движения). Если движение происходит вдоль оси Х, то уравнение движения может быть записано (например, для грузика на пружинке) в виде

где – коэффициент вязкого трения.

Это уравнение движения можно преобразовать к виду

Здесь
– коэффициент затухания,– по-прежнему собственная частота осциллятора (который уже нельзя назвать гармоническим; это затухающий осциллятор с вязким трением).

Математики умеют решать такие дифференциальные уравнения. Было показано, что решением является функция

В последней формуле используются обозначения: – начальная амплитуда, частота слабозатухающих колебаний
,
. Кроме того, часто используют другие параметры, характеризующие затухание: логарифмический декремент затухания
, время релаксации системы
, добротность системы
, где в числителе стоит запасенная системой энергия, а в знаменателе – потери энергии за период Т.

В случае сильного затухания
решение имеет апериодический вид.

Часто встречаются случаи, когда кроме сил трения на осциллятор действует внешняя сила. Тогда уравнение движения приводится к виду

стоящее справа выражение часто называют приведенной силой, само выражение
называют вынуждающей силой. Для произвольной вынуждающей силы найти решение уравнения не удается. Обычно рассматривают гармоническую вынуждающую силу типа
. Тогда решение представляет собой затухающую часть типа (**), которая для больших времен стремится к нулю, и установившиеся (вынужденные) колебания

Амплитуда вынужденных колебаний

а фаза вынужденных колебаний

Заметим, что при приближении собственной частоты к частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний возрастает. Это явление известно как резонанс . Если затухание велико, то резонансное увеличение не велико. Такой резонанс называют «тупым». При малых затуханиях амплитуда «острого» резонанса может возрасти весьма значительно. Если же система идеальна, и трение в ней отсутствует, то амплитуда вынужденных колебаний увеличивается неограниченно.

Заметим также, что при частоте вынуждающей силы

Достигается максимальное значение амплитуды вынуждающей силы, равное

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Лекция 1

КОЛЕБАНИЯ

КОЛЕБАНИЯ. ВОЛНЫ. ОПТИКА

Колебание – один из самых распространённых процессов в природе и технике. Колебания – это процессы, повторяющиеся во времени. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведённых часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни. Звук – это колебания давления воздуха, радиоволны – периодические изменения напряжённости электрического и магнитного поля, свет – это тоже электромагнитные колебания. Землетрясения – колебания почвы, приливы и отливы – изменение уровней морей и океанов, вызываемые притяжением луны и т.д.

Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и др. Несмотря на такое многообразие, все колебания описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями.

Первыми учёными, изучавшими колебания, были Галилео Галилей и Христиан Гюйгенс. Галилей установил независимость периода колебаний от амплитуды. Гюйгенс изобрёл часы с маятником.

Любая система, которая, будучи слегка выведена из положения равновесия, совершает устойчивые колебания, называется гармоническим осциллятором. В классической физике такими системами являются математический маятник в пределах малых углов отклонения, груз в пределах малых амплитуд колебаний, электрический контур, состоящий из линейных элементов ёмкости и индуктивности.

Гармонический осциллятор можно считать линейным, если смещение от положения равновесия прямо пропорционально возмущающей силе. Частота колебаний гармонического осциллятора не зависит от амплитуды. Для осциллятора выполняется принцип суперпозиции - если действуют несколько возмущающих сил, то эффект их суммарного действия может быть получен как результат сложения эффектов от действующих сил в отдельности.

Гармонические колебания описываются уравнением (рис.1.1.1)

(1.1.1)

где х -смещение колеблющейся величины от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, равная величине максимального смещения, - фаза колебаний, определяющая смещение в момент времени , - начальная фаза, определяющая величину смещения в начальный момент времени, - циклическая частота колебаний.

Время одного полного колебания называется периодом, , где - число колебаний, совершенных за время .

Частота колебаний определяет число колебаний, совершаемых в единицу времени, она связана с циклической частотой соотношением , тогда период .

Скорость колеблющейся материальной точки

ускорение

Таким образом, скорость и ускорение гармонического осциллятора также изменяются по гармоническому закону с амплитудами и соответственно. При этом скорость опережает по фазе смещение на , а ускорение – на (рис.1.1.2).

Из сопоставления уравнений движения гармонического осциллятора (1.1.1) и (1.1.2) следует, что , или

Это дифференциальное уравнение второго порядка называется уравнением гармонического осциллятора. Его решение содержит два постоянные а и , которые определяются заданием начальных условий

Если периодически повторяющийся процесс описывается уравнениями, не совпадающими с (1.1.1), он н6азывается ангармоническим. Система, совершающая ангармонические колебания, называется ангармоническим осциллятором.

1.1.2 . Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Комплексная форма представления гармонических колебаний

В природе очень распространены малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения равновесия. Если система, выведенная из положения равновесия, предоставлена себе, то есть на неё не действуют внешние силы, то такая система будет совершать свободные незатухающие колебания. Рассмотрим систему с одной степенью свободы.

Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором её потенциальная энергия имеет минимум (q – обобщённая координата системы). Отклонение системы от положения равновесия приводит к возникновению силы , которая стремится вернуть систему обратно. Значение обобщённой координаты, соответствующей положению равновесия, обозначим , тогда отклонение от положения равновесия

Будем отсчитывать потенциальную энергию от минимального значения . Примем Полученную функцию разложим в ряд Маклорена и оставим первый член разложения, имеем: о

Рассмотрим колебания грузика массой m на пружинке с коэффициентом жесткости k, который лежит на плоском горизонтальном столе, предполагая, что трение грузика об поверхности стола отсутствует. Если грузик вывести из положения равновесия, он будет совершать колебания относительно этого положения. Эти колебания мы будем описываем зависящей от времени функцией, считая, что она определяет отклонение грузика из своего положения равновесия в момент времени t.

В горизонтальном направлении на грузик действует только одна сила - сила упругости пружинки, определенная известным законом Гука

Деформация пружины является функцией времени, в силу чего, также является переменной.

Из второго закона Ньютона имеем

поскольку ускорение является второй производной от смещения: .

Уравнение (9) можно переписать в форме

где. Это уравнение получило название уравнение гармонического осциллятора.

Замечание. В математической литературе, при написании дифференциального уравнения обычно не указывают аргумент (t) около всех, зависящих от него функций. Такая зависимость предполагается по умолчанию. При использовании же математического пакета Maple в (10) необходимо указывать явную зависимость функции.

В отличие от предыдущего примера движения тела под действием постоянной силы в нашем случае сила изменяется с течением времени, и уравнение (10) уже нельзя решить с помощью обычной процедуры интегрирования. Попытаемся угадать решение этого уравнения, зная, что оно описывает некоторый колебательный процесс. В качестве одного из возможных решений уравнения (10) можно выбрать следующую функцию:

Дифференцируя функцию (11), имеем

Подставляя выражение (12) в уравнение (10), убеждаемся, что оно удовлетворяется тождественно при любом значении t.

Однако, функция (11) не является единственным решением уравнения гармонического осциллятора. Например, в качестве другого его решения можно выбрать функцию, что также легко проверить аналогичным образом. Более того, можно проверить, что любая линейная комбинация этих двух наугад названных решений

с постоянными коэффициентами A и B также является решениеv уравнения гармонического осциллятора.

Можно доказать, что зависящее от двух постоянных решение (13) является общим решением уравнения гармонического осциллятора (10). Это означает, что формула (13) исчерпывает все возможные решения этого уравнения. Иными словами, других частных решений, кроме тех, которые получаются из формулы (13) фиксацией произвольных постоянных А и В, уравнение гармонического осциллятора не имеет.

Заметим, что в физике наиболее часто приходится искать именно некоторые частные решения отдельных ОДУ или их систем. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Возбудить колебания в рассматриваемой нами системе грузика на пружинке можно разными способами. Пусть мы задали следующие начальные условия

Это значит, что в начальный момент времени грузик был отведен из положения равновесия на величину a и свободно отпущен (т.е. он начинает свое движение с нулевой начальной скоростью). Можно представить себе и много разных других способов возбуждения, например, грузику в положении равновесия «щелчком» придается некоторая начальная скорость и т.д. [общем случае, ].

Мы рассматриваем начальные условия (14) как некоторые дополнительные условия для выделения из общего решения (13) некоторого частного решения, соответствующего нашему способу возбуждения колебаний грузика.

Полагая t=0 в выражении (13), имеем, откуда следует, что B=a. Таким образом, мы нашли одну из ранее произвольных констант в решении (13). Далее, дифференцируя в формуле (13), имеем

Полагая в этом выражении t=0 и учитывая второе начальное условие из (14), получим, отсюда следует, что A=0 и, таким образом, исходное частное решение имеет вид

Оно описывает колебательный режим рассматриваемой механической системы, который определяется условиями начального возбуждения (14).

Из школьного курса физики известно, что в формуле (16) a является амплитудой колебаний (она задает максимальную величину отклонения грузика от своего положения равновесия), является циклической частотой, а - фазой колебаний (начальная фаза оказывается при этом равной нулю).

Уравнение гармонического осциллятора (10) является примером линейного ОДУ. Это значит, что неизвестная функция и все ее производные входят в каждый член уравнения в первой степени. Линейные дифференциальные уравнения обладают чрезвычайно важным отличительным свойством: они удовлетворяют принципу суперпозиции. Это значит, что любая линейная комбинация двух каких либо решений линейного ОДУ также является его решением.

В рассматриваемом нами примере уравнения гармонического осциллятора, произвольная линейная комбинация двух частных решений и является не просто каким-то новым решением, но общим решением этого уравнения (оно исчерпывает все возможные его решения).

В общем случае, это не так. Например, если бы мы имели дело с линейным дифференциальным уравнением третьего порядка, (т.е. если бы в уравнение входила бы третья производная), то линейная комбинация каких-либо двух его частных решений также была бы решением этого уравнения, но не представляла бы собой его общее решение.

В курсе дифференциальных уравнений доказывается теорема о том, что общее решение ОДУ N-ого порядка (линейного или нелинейного) зависит от N произвольных постоянных. В случае нелинейного уравнения эти произвольные постоянные могут входить в общее решение (в отличие от (13)), нелинейным образом.

Принцип суперпозиции играет в теории ОДУ исключительно важную роль, поскольку с его помощью можно построить общее решение дифференциального уравнения в виде суперпозиции его частных решений. Например, для случая линейных ОДУ с постоянными коэффициентами и их систем (уравнение гармонического осциллятора относится именно к этому типу уравнений) в теории дифференциальных уравнений разработан общий метод решения. Суть его заключается в следующем. Ищется частное решение в виде. В результате его подстановки в исходное уравнение, все зависящие от времени множители сокращаются и мы приходим к некоторому характеристическому уравнению, которое для ОДУ N-ого порядка представляет собой алгебраическое уравнение N-ой степени. Решая его, мы находим, тем самым, все возможные частные решения, произвольная линейная комбинация которых и дает общее решение исходного ОДУ. Мы не будем далее останавливаться на этом вопросе, отсылая читателя к соответствующим учебникам по теории дифференциальным уравнениям, в которых можно найти дальнейшие детали, в частности, рассмотрение случая, когда характеристическое уравнение содержит кратные корни.

Если рассматривается линейное ОДУ с переменными коэффициентами, (его коэффициенты зависят от времени), то принцип суперпозиции также справедлив, но построить в явном виде общее решение этого уравнение каким-либо стандартным методом, уже не представляется возможным. Мы вернемся к этому вопросу далее, обсуждая явление параметрического резонанса и связанным с его исследованием уравненем Матье.

Колебания гармонического осциллятора Гармоничным осциллятором называется физический объект, эволюция которого со временем описывается дифференциальным уравнением

Где q – обобщенная координата гармонического осциллятора, t – время, ? – характерная частота гармонического осциллятора. Две точки над переменной означают вторую производную по времени. Величина q совершающий гармонические колебания.
Задача о гармоничном осциллятор играет центральную роль как в классической, так и в квантовой физике.
Большое количество физических систем ведут себя как гармоничные осциллятора при малом отклонении от равновесия. К ним относятся математический и физический маятники, колебания атомов в молекулах и твердых телах, электрические колебательные контуры и многие другие.
Малые колебания маятника являются гармоническими

Энергия, функция Лагранжа и Гамильтона
Кинетическая энергия гармонического осциллятора задается выражением

Потенциальная энергия гармонического осциллятора задается выражением

Соответственно, считая величину q обобщенной координатой, функция Лагранжа гармоничного осцлятора записывается

Обобщенный импульс

Функция Гамильтона

Вынужденные колебания
Под действием внешней периодической силы с частотой, которая не обязательно совпадает с собственной частотой гармонического осциллятора, осциллятор совершает гармонические колебания, аплитуда которых определяется величиной внешней силы и соотношением внешней частоты и собственной частоты осциллятора.
Вынужденные колебания гармонического осциллятора с частотой? 0 под действием силы с частотой?описуються уравнением

Где f 0 – амплитуда внешней силы.
Частное решение этого уравнения, описывающий вынужденные колебания имеет вид

Гармоничный осцитор под действием внешней силы совершающий гармонические колебания с амплитудой . При амплитуда вынужденных колебаний стремится к бесконечности. Это явление называется резонансом.
Гармонический осциллятор с затуханием
При учете сил трения или сопротивления другого рода, который приводит к диссипации энергии осциллятора и превращении ее в тепло, уравнение гармонического осциллятора меняются. В частности очень распространенный случай, когда силы сопротивления пропорциональны скорости изменения величины q. Тогда уравнение гармонического осциллятора принимает вид

Такие колебания затухают со временем по закону

Вынужденные колебания гармонического осциллятора с затуханием
При действии периодической внешней силы даже при затухании для осциллятора устанавливаются гармонические колебания с амплитудой, зависящей от приложенной силы, соотношение частот, а также от величины затухания.
Амплитуда вынужденных колебаний с учетом затухания определяется формулой

Это конечная величина при всех частотах внешней силы.
Математический маятник при небольшом начальном отклонении от вертикали совершающий гармонические колебания с частотой

Колебательный контур гармоническим осциллятором, с частотой

Где L – индуктивность, C – емкость.
Подробнее см. Квантовый осциллятор.
Спектр собственных значений и собственных функциях
Волновые функции первых шести состояний с квантовыми числами от n = 0 до 5. На оси ординат отложена обобщенная координата Гамильтониан гармонического осциллятора получается заменой в функции Гамильтона импульса p на

Спектр гармонического осциллятора находится со стационарного уравнения Шредингера и задается формулой

Здесь n – квантовое число, пробегает значения от нуля до бесконечности. Энергетические уровни гармонического осциллятора эквидистантных. Характерной особенностью гармонического осциллятора является то, что даже в основном состоянии гармоничный осциллятор имеет отличную от нуля энергию

Эта низкая энергия называется энергией нулевых колебаний.
Собственные функции гармонического осциллятора, соответствующих квантовому числу n задаются формулами

Где , А H n (x) – полиномы Эрмита.
При четном n собственные функции гармонического осциллятора парные, при Непрану – нечетные. Гамильтониан гармонического осциллятора коммутирует с оператором замены x на – x (оператором четности), а потому имеет общие собственные функции с этим оператором.
Операторы рождения и уничтожения
Если определить оператор рождения

И оператор уничтожения

Операторы рождения и уничтожения удовлетворяют коммутационном соотношению:

Собственные функции гармонического осциллятора тогда имеют вид

Или, используя нотацию кет и бра-векторов:

Всего действие оператора рождения на гармоничное оператор в состоянии | n> приводит к переходу в состояние | n +1>:

Действие оператора уничтожения на состояние | n> приводит к переходу в состояние | n-1>:

Оператор

Называют оператором числа частиц, поскольку для него справедливо соотношение.

Правила отбора
При излучении или поглощении фотона разрешенными переходами для гармонического осциллятора есть такие, при которых квантовое число n изменяется на единицу. Учитывая еквидистантнисть уровней, это правило отбора приводит к тому, что, несмотря на бесконечное число уровней, в спектре оптического поглощения или излучения гармонического осциллятора есть только одна линия с частотой?.
В реальных колебательных спектрах молекул возможны отклонения от этого правила, обусловленные ангармоничнистю реального потенциала межатомного взаимодействия, квадрупольными переходами и т.д.

КОЛЕБАНИЯ. ВОЛНЫ. ОПТИКА

КОЛЕБАНИЯ

Лекция 1

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Амплитуда, частота и фаза колебаний

Гармонические колебания описываются уравнением (рис.1.1.1)

(1.1.1)

Время одного полного колебания называется периодом, , где - число колебаний, совершенных за время .

Скорость колеблющейся материальной точки

ускорение

Из сопоставления уравнений движения гармонического осциллятора (1.1.1) и (1.1.2) следует, что , или

где . Тогда с учётом введённых обозначений:

, (1.1.4)

С учётом выражения (1.1.4) для силы, действующей на систему, получаем:

Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения системы имеет вид: ,

Выражений (1.1.5) совпадает с уравнением (1.1.3) свободных гармонических колебаний при условии, что

и имеет два независимых решения: и , так что общее решение:

Из формулы (1.1.6) следует, что частота определяется только собственными свойствами механической системы и не зависит от амплитуды и от начальных условий движения.

Зависимость координаты колеблющейся системы от времени можно определить в виде вещественной части комплексного выражения , где A=Xe-iα – комплексная амплитуда, её модуль совпадает с обычной амплитудой, а аргумент – с начальной фазой.

1.1.3 . Примеры колебательных движений различной физической природы

Колебания груза на пружине

Рассмотрим колебания груза на пружине, при условии, что пружина не деформирована за пределы упругости. Покажем, что такой груз будет совершать гармонические колебания относительно положения равновесия (рис.1.1.3). Действительно, согласно закону Гука, сжатая или растянутая пружина создаёт гармоническую силу:

где – коэффициент жёсткости пружины, – координата положения равновесия, х – координата груза (материальной точки) в момент времени , - смещение от положения равновесия.

Поместим начало отсчета координаты в положение равновесия системы. В этом случае .

Если пружину растянуть на величину х , после чего отпустить в момент времени t =0, то уравнение движения груза согласно второму закону Ньютона примет вид -kx =ma , или , и

(1.1.6)

Это уравнение совпадает по виду с уравнением движения (1.1.3) системы, совершающей гармонические колебания, его решение будем искать в виде:

. (1.1.7)

Подставим (1.17) в (1.1.6), имеем: то есть выражение (1.1.7) является решением уравнения (1.1.6) при условии, что

Если в начальный момент времени положение груза было произвольным, то уравнение движения примет вид:

Рассмотрим, как меняется энергия груза, совершающего гармонические колебания в отсутствие внешних сил (рис.1.14). Если в момент времени t =0 грузу сообщить смещение х=А , то его полная энергия станет равной потенциальной энергии деформированной пружины , кинетическая энергия равна нулю (точка 1).

На груз действует сила F= -kx , стремящаяся вернуть его в положение равновесия, поэтому груз движется с ускорением и увеличивает свою скорость, а, следовательно, и кинетическую энергию. Эта сила сокращает смещение груза х, потенциальная энергия груза убывает, переходя в кинетическую. Система «груз - пружина» замкнутая, поэтому её полная энергия сохраняется, то есть:

. (1.1.8)

В момент времени груз находится в положении равновесия (точка 2), его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая максимальна . Максимальную скорость груза найдём из закона сохранения энергии (1.1.8):

За счёт запаса кинетической энергии груз совершает работу против упругой силы – и пролетает положение равновесия. Кинетическая энергия постепенно переходит в потенциальную. При груз имеет максимальное отрицательное смещение –А, кинетическая энергия Wk =0, груз останавливается и начинает движение к положению равновесия под действием упругой силы F= -kx . Далее движение происходит аналогично.

Маятники

Под маятником понимают твёрдое тело, которое совершает под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Различают физический и математический маятники.

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из невесомой нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной материальной точке.

Математическим маятником, например, является шарик на длинной тонкой нити.

Отклонение маятника от положения равновесия характеризуется углом φ , который образует нить с вертикалью (рис.1.15). При отклонении маятника от положения равновесия возникает момент внешних сил (силы тяжести) : , где m – масса, – длина маятника

Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия (аналогично квазиупругой силе) и направлен противоположно смещению φ , поэтому в формуле стоит знак «минус».

Уравнение динамики вращательного движения для маятника имеет вид: Iε= ,

Будем рассматривать случай малых колебаний, поэтому sin φ ≈φ , обозначим ,

имеем: , или , и окончательно

Это уравнение гармонических колебаний, его решение:

Частота колебаний математического маятника определяется только его длиной и ускорением силы тяжести, и не зависит от массы маятника. Период равен:

Если колеблющееся тело нельзя представить, как материальную точку, то маятник называют физическим (рис.1.1.6). Уравнение его движения запишем в виде:

В случае малых колебаний , или =0 , где . Это уравнение движения тела, совершающего гармонические колебания. Частота колебаний физического маятника зависит от его массы, длины и момента инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Обозначим . Величина называется приведённой длинной физического маятника. Это длина математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, лежащая на расстоянии приведённой длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (О’ ). Если маятник подвесить в центре качания, то приведённая длина и период колебаний будут теми же, что и в точке О . Таким образом, точка подвеса и центр качания обладают свойствами взаимности: при переносе точки подвеса в центр качения прежняя точка подвеса становится новым центром качения.

Математический маятник, который качается с таким же периодом, как и рассматриваемый физический, называется изохронным данному физическому маятнику.

1.1.4. Сложение колебаний (биения, фигуры Лиссажу). Векторное описание сложения колебаний

Сложение одинаково направленных колебаний можно производить методом векторных диаграмм. Любое гармоническое колебание можно представить в виде вектора следующим образом. Выберем ось х с началом отсчета в точке О (рис.1.1.7)

Из точки О построим вектор , который составляет угол с осью х . Пусть этот вектор поворачивается с угловой скоростью . Проекция вектора на ось Х равна:

то есть она совершает гармонические колебания с амплитудой а.

Рассмотрим два гармонических колебания одинакового направления и одинаковой циклической малой , заданные векторами и . Смещения по оси Х равны:

результирующий вектор имеет проекцию и представляет собой результирующее колебание (рис.1.1.8), по теореме косинусов Таким образом, сложение гармонических колебаний производится сложением векторов.

Проведем сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Пусть материальная точка совершает два взаимно перпендикулярных колебания частотой :

Сама материальная точка при этом будет двигаться по некоторой криволинейной траектории.

Из уравнения движения следует: ,

. (1.1.9)

Из уравнения (1.1.9) можно получить уравнение эллипса (рис.1.1.9):

Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

1. Разность фаз колебаний α= 0. При этом т.е. или Это уравнение прямой, и результирующее колебание происходит вдоль этой прямой с амплитудой (рис.1.1.10).а.

ее ускорение равно второй производной от смещения по времени тогда сила, действующая на колеблющуюся точку, по второму закону Ньютона равна

То есть сила пропорциональна смещению х и направлена против смещения к положению равновесия. Эта сила называется возвращающей силой. В случае груза на пружине возвращающей силой является сила упругости, в случае математического маятника – составляющая силы тяжести.

Возвращающая сила по характеру подчиняется закону Гука F= -kx, где

– коэффициент возвращающей силы. Тогда потенциальная энергия колеблющейся точки равна:

(постоянную интегрирования выбирают равной нулю, чтобы при х).

АНГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

§15. Затухающий осциллятор. Вынужденные колебания.

Рекомендуем почитать

Поиск по сайту