Вероятность проявляет себя, когда один и то же случайный эксперимент проводится много раз, причем так, что результаты уже проведенных экспериментов никак не влияют на последующие. При этих условиях частота наступления события при неограниченном возрастании числа экспериментов стремится к вероятности события.

Рассмотрим случайный эксперимент, заключающийся в том, что подбрасывается игральная кость, сделанная из неоднородного материала. Ее центр тяжести не находится в геометрическом центре. В этом случае мы не можем считать исходы (выпадение единицы, двойки и т.д.) равновероятными. Из физики известно, что кость чаще будет падать на ту грань, которая ближе к центру тяжести. Как определить вероятность выпадения, например, трех очков? Единственное, что можно сделать, это подбросить эту кость n раз (где n -достаточно большое число, скажем n =1000 или n =5000), подсчитать число выпадений трех очков n 3 и считать вероятность исхода, заключающегося в выпадении трех очков, равной n 3 /n - относительной частоте выпадения трех очков. Аналогичным образом можно определить вероятности остальных элементарных исходов - единицы, двойки, чет­верки и т.д.

Классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможны. О равновозможности исходов опыта заключают в силу соображений симметрии (как в случае монеты или игрального кубика). Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи с этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим. Чтобы дать это определение, предварительно вводят понятие относительной частоты события.

Определение 18.2.2. Относительной частотой события, или частотой , называется отношение

числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события А через W(A), тогда по определению W(A)= m/n ,

где m - число опытов, в которых появилось событие А; n - число всех произведенных опытов.

Частота события обладает следующими свойствами.

1. Частота случайного события есть число, заключенное между нулем

и единицей:

0< W(A) < 1

2. Частота достоверного события Ω равна единице:

W(Ω) = 1

3. Частота невозможного события Ø равна:

W(Ø)=0.

4. Частота суммы двух несовместных событий А и В равна сумме

частот этих событий:

W(A + В) = W(A) + W(B)

Наблюдения позволили установить, что относительная частота обладает свойствами статистической устойчивости: в различных сериях многочленных испытаний (в каждом из которых может появиться или не появиться это событие) она принимает значения, достаточно близкие к некоторой постоянной. эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.

Определение 18.2.3.(Статистической) вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.

Более строго, статистическая вероятность P( w i) определяется как предел относительной частоты появления исхода w i в процессе неограниченного увеличения числа случайных экспериментов n , то есть

где m n (w i ) – число случайных экспериментов (из общего числа n произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного исхода w i .

В случае статистического определения вероятность обладает теми же свойствами, что и вероятность, определенная по классической схеме:

свойствами: 1) вероятность достоверного события равна единице;

2) вероятность невозможного события равна нулю; 3) вероятность

случайного события заключена между нулем и единицей; 4) вероятность

суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Пример . Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 10 бракованных. Какова частота бракованных деталей?

W = 10/500 = 1/50 = 0,2

Геометрическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.

Пусть эксперимент состоит в случайном выборе точки из некоторой области. Полагаем выбор любой точки равновозможным. Заданную в пространстве область обозначим W. В эксперименте, связанном со случайным выбором только одной точки из W, множество W является пространством элементарных событий. Случайными событиями в этом случае можно считать разные подмножества из W. Будем говорить, что случайное событие А наступило, если наугад выбранная точка x принадлежит подмножеству А, т.е.

Определение 18.2.4.

Пусть W – некоторый отрезок, L – его длина. А – отрезок длины l, принадлежащий W . Событие А состоит в попадании точки, брошенной в большой отрезок в А. Тогда

Аналогично, если множествомW элементарных исходов случайного эксперимента является фигура на плоскости площади S, а область А, ее подмножество, куда может попасть случайно брошенная на W точка, имеет площадь s, соответствующая вероятность события А – попадания в область А тогда

И, наконец, если речь идет об объемных фигурах, соответственно, W объема V и входящей в нее области А объема v

Замечание 18.2.3. . Строго говоря, рассматриваемый здесь подход требует введения более общей характеристики (функции) множества – его меры (mes (A) ), частными случаями которой являются длина, площадь и объем, и тогда вероятность события А будет отношением меры множества А к мере множества W

Пример 1. В квадрат вписан круг. Точка случайным образом бросается в квадрат. Какова вероятность того, что она попадет в круг? Согласно приведенной формуле соответствующая вероятность будет отношением площади круга к площади квадрата.

Пример 2. Два человека обедают в кафе в обеденный перерыв, который начинается у них в одно время и продолжается 1 час, от 12 до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10 минут. Какова вероятность их встречи?

Пусть x - время прихода в кафе первого, а y - время прихода второго . Встретиться они могут только тогда, когда оба находятся в кафе.

Если второй пришел не позже первого (x ³ y ), то встреча произойдет при условии 0 £ x - y £ 1/6..

Таким образом, в первом случае нас будет удовлетворять условие y £ x + 1/6 , а во втором

y ≥ x - 1/6 . Область, удовлетворяющая этим двум условиям заштрихована на рис. 2

Иными словами, в терминах геометрической вероятности, вероятность встречи есть отношение площади заштрихованной «полосы» между прямыми y = x + 1/6 и y = x - 1/6 внутри квадрата к площади самого квадрата.

Искомая вероятность p равна отношению площади заштрихованной области к площади всего квадрата.. Площадь квадрата равна единице, а площадь заштрихованной области можно определить как разность единицы и суммарной площади двух треугольников, изображенных на рисунке 7. Отсюда следует:

Классическое и статистическое определение вероятности

Для практической деятельности необходимо уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Рассмотрим классический случай. В урне находится 10 шаров, 8 из них белого цвета, 2 черного. Очевидно, что событие «из урны будет извлечен шар белого цвета» и событие «из урны будет извлечен шар черного цвета» обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная количественная мера.

Количественной мерой возможности наступления события является вероятность . Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Остановимся на этом подробнее.

Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называют элементарными исходами , или случаями . При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев или «схеме урн », т.к. любую вероятностную задачу для подобного испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами разных цветов.

Исход называется благоприятствующим событию А , если появление этого случая влечет за собой появление события А .

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов , т.е.

где Р(А) – вероятность события А ; m – число случаев благоприятствующих событию А ; n – общее число случаев.

Пример 1.1. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?

Решение. Все n = 6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Событию А – «появление четного числа очков» – благоприятствуют 3 исхода (случая) – выпадение 2, 4 или 6 очков. По классической формуле вероятности события получаем

Р(А) = = . ◄

Исходя из классического определения вероятности события, отметим ее свойства:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

0 ≤ Р (А ) ≤ 1.

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Как было сказано ранее, классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможных исходов, т.е. сводящихся к схеме случаев. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения.

Например, если допустить, что монета сплющена, то очевидно, что события «появление герба» и «появление решки» нельзя считать равновозможными. Поэтому формула для определения вероятности по классической схеме в данном случае неприменима.

Однако существует другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определениевероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.

,

(1.2)

где Р * (А) – статистическая вероятность события А ; w(A) – относительная частота события А ; m – число испытаний, в которых появилось событие А ; n – общее число испытаний.

В отличие от математической вероятности Р(А) , рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность Р * (А) является характеристикой опытной , экспериментальной . Иначе говоря, статистической вероятностью события А называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота w(А) при неограниченном увеличении числа испытаний, проводимых при одном и том же комплексе условий.

Например, когда про стрелка говорят, что он попадает в цель с вероятностью 0,95, то это означает, что из сотни выстрелов, произведенных им при определенных условиях (одна и та же цель на том же расстоянии, та же винтовка и т.д.), в среднем бывает примерно 95 удачных. Естественно, не в каждой сотне будет 95 удачных выстрелов, иногда их будет меньше, иногда больше, но в среднем при многократном повторении стрельбы в тех же условиях этот процент попаданий будет оставаться неизменным. Цифра 0,95, служащая показателем мастерства стрелка, обычно очень устойчива , т.е. процент попаданий в большинстве стрельб будет для данного стрелка почти один и тот же, лишь в редких случаях отклоняясь сколько-нибудь значительно от своего среднего значения.

Еще одним недостатком классического определения вероятности (1.1 ), ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания. В некоторых случаях этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G (рис. 1.1). На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания на нее брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события А – попадания брошенной точки на фигуру g – пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G , ни от формы g , найдем

Как было сказано выше, классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможны. О равновозможности исходов опыта заключают в силу соображений симметрии. Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи в этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим. Предварительно введем понятие относительной частоты.

Относительной частотой события , или частотой, называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события А через W(A), тогда

где n – общее число опытов; m – число опытов, в которых появилось событие А .

При небольшом числе опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно меняться от одной группы опытов к другой. Например, при каких-то десяти бросаниях монеты вполне возможно, что герб появится 2 раза (частота 0,2), при других десяти бросаниях мы вполне можем получить 8 гербов (частота 0,8). Однако при увеличении числа опытов частота события все более теряет свой случайный характер; случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному опыту, в массе взаимно погашаются, и частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней постоянной величине. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.

Статистическое определение вероятности: вероятностью события называют число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.

Свойство устойчивости частот, многократно проверенное экспериментально и подтверждающееся опытом человечества, есть одна из наиболее характерных закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях. Между частотой события и его вероятностью существует глубокая связь, которую можно выразить так: когда мы оцениваем степень возможности какого-либо события, мы связываем эту оценку с большей или меньшей частотой появления аналогичных событий на практике.

Геометрическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно. Для того чтобы преодолеть этот недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.

Допустим, что на плоскости задана квадрируемая область G , т.е. область, имеющая площадь S G . В области G содержится область g площади S g . В область G наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области G с вероятностью, пропорциональной площади этой части и независящей от ее формы и расположения. Пусть событие А – «попадание брошенной точки в область g », тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой:

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области g (длину, площадь, объем) через mes g , а меру области G – черезmes G ; пусть также А – событие «попадание брошенной точки в область g , которая содержится в области G ». Вероятность попадания в область g точки, брошенной в область G , определяется формулой

.

Задача . В круг вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадёт в квадрат?

Решение. Пусть радиус круга равен R , тогда площадь круга равна . Диагональ квадрата равна , тогда сторона квадрата равна , а площадь квадрата равна . Вероятность искомого события определяется как отношение площади квадрата к площади круга, т.е. .

Контрольные вопросы

1. Что называется испытанием (опытом)?

2. Что называется событием?

3. Какое событие называется а) достоверным? б) случайным? в) невозможным?

4. Какие события называются а) несовместными? б) совместными?

5. Какие события называются противоположными?ываются а) несовместными б) совместнымиывается случайным?

6. Что называется полной группой случайных событий?

7. Если события не могут произойти все вместе в результате испытания, то будут ли они попарно несовместными?

8. Образуют ли события А и полную группу?

9. Какие элементарные исходы благоприятствуют данному событию?

10. Какое определение вероятности называется классическим?

11. В каких пределах заключена вероятность любого события?

12. При каких условиях применяется классическая вероятность?

13. При каких условиях применяется геометрическая вероятность?

14. Какое определение вероятности называется геометрическим?

15. Что называется частотой события?

16. Какое определение вероятности называется статистическим?

Контрольные задания

1. Из букв слова «консерватория» наугад извлекается одна буква. Найти вероятность того, что эта буква гласная. Найти вероятность, что это буква «о».

2. На одинаковых карточках написаны буквы «о», «р», «с», «т». Найти вероятность того, что на разложенных наудачу в ряд карточках появится слово «трос».

3. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрывается 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?

4. Подбрасывается два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков на обоих кубиках больше 6.

5. На пяти одинаковых карточках написаны буквы л, м, о, о, т. Какова вероятность того, что извлекая карточки по одной наугад, получим в порядке их выхода слово «молот»?

6. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Чему равна вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный?

7. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры таковы, что их произведение равно нулю.

8. Наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Найти вероятность того, что это число является делителем 30.

9. Наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Найти вероятность того, что это число кратно 3.

10. Наудачу выбрано число, не превосходящее 50. Найти вероятность того, что это число простое.

Понятие вероятности события относится к фундаментальным понятиям теории вероятностей. Вероятность - это количественная мера возможности появления случайного события А. Обозначается она Р(А) и имеет следующие свойства.

Вероятность есть положительное число, заключенное в интервале от нуля до единицы:

Вероятность невозможного события равна нулю

Вероятность достоверного события равна единице

Классическое определение вероятности. Пусть = { 1 , 2 ,…, n } - пространство элементарных событий, которые описывают все возможные элементарные исходы и образуют полную группу несовместных и равновозможных событий. Пусть событию А соответствует подмножество m элементарных исходов

эти исходы называют благоприятствующими событию А. В классическом определении вероятности полагают, что вероятность любого элементарного исхода

а вероятность события А, которому благоприятствуют m исходов, равна

Отсюда определение:

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность определяется формулой

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, а _ число всех возможных элементарных исходов испытания.

Классическое определение вероятности дает возможность в некоторых задачах аналитически вычислить вероятность события.

Пусть проводится опыт, в результате которого могут наступить те или иные события. Если эти события образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, то говорят, что опыт обладает симметрией возможных исходов и сводится к "схеме случаев". Для опытов, которые сводятся к схеме случаев, применима классическая формула вероятности.

Пример 1.13. В лотерее разыгрывается 1000 билетов, среди которых 5 выигрышных. Определить вероятность того, что при покупке одного билета лотереи будет получен выигрыш

Элементарным событием этого опыта является покупка билета. Каждый билет лотереи неповторим, так как имеет свой номер, и купленный билет не возвращается обратно. Событие А заключается в том, что куплен выигрышный билет. При покупке одного из 1000 билетов всевозможных исходов этого опыта будет =1000, исходы образуют полную группу несовместных событий. Число исходов, благоприятных событию А, будет равно =5. Тогда вероятность получить выигрыш, купив один билет, равна

Р(А) = = 0.005

Для непосредственного подсчета вероятностей удобно применять формулы комбинаторики. Покажем это на примере задачи выборочного контроля.

Пример 1.14 Пусть имеется партия из изделий, среди них есть бракованных. Для контроля отбирается часть из изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных изделий будет ровно бракованных

Элементарным событием в этом опыте является выбор элементного подмножества из исходного элементного множества. Выбор любой части изделий из партии в изделий можно считать равновозможными событиями, поэтому данный опыт сводится к схеме случаев. Для вычисления вероятности события А={среди изделий бракованных, если они отбирались из партии в изделий с бракованными} можно применить классическую формулу вероятности. Число всех возможных исходов опыта - это число способов, которыми можно отобрать изделий из партии в, оно равно числу сочетаний из элементов по: . Событие, благоприятное событию А, состоит из произведения двух элементарных событий: {из бракованных изделий выбраны }{из _ стандартных изделий выбраны _}. Число таких событий, в соответствии с правилом умножения комбинаторики, будет

Тогда искомая вероятность

Например, пусть =100, =10, =10, =1. Тогда вероятность того, что среди отобранных 10 изделий будет ровно одно бракованное, равна

Статистическое определение вероятности. Для того, чтобы применить в условиях данного опыта классическое определение вероятности, необходимо, чтобы опыт соответствовал схеме случаев и для большинства реальных задач эти требования практически невыполнимы. Однако вероятность события - это объективная реальность, которая существует независимо от того, применимо или нет классическое определение. Возникает необходимость в другом определении вероятности, применимом тогда, когда опыт не отвечает схеме случаев.

Пусть эксперимент заключается в проведении серии испытаний, повторяющих один и тот же опыт, и пусть событие А наступило раз в серии из опытов. Относительной частотой события W(A) называют отношение числа опытов, в которых наступило событие А, к числу всех проведенных опытов

Экспериментально доказано, что частота обладает свойством устойчивости: если число опытов в серии достаточно велико, то относительные частоты события А в различных сериях одного и того же эксперимента мало отличаются друг от друга.

Статистической вероятностью события называют число, к которому стремятся относительные частоты, если число опытов неограниченно возрастает

В отличие от априорной (вычисленной до опыта) классической вероятности статистическая вероятность является апостериорной (полученной после опыта).

Пример 1.15 Метеорологические наблюдения в течении 10 лет в некоторой местности показали, что число дождливых дней в июле было в разные года равно: 2; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Определить вероятность того, что какой-либо определенный день июля будет дождливым

Событие А заключается в том, что определенный день июля, например, 10 июля, пойдет дождь. Выданная статистика не содержит информации о том, в какие конкретно дни июля шел дождь, поэтому можно считать, что все дни равновозможные для этого события. Пусть один год - это одна серия испытаний из 31 одного дня. Всего серий 10. Относительные частоты серий равны:

Частоты различны, но наблюдается их группировка возле числа 0.1. Это число и можно принять за вероятность события А. Если за одну серию испытаний принять все дни июля за десять лет, то статистическая вероятность события А будет равна

Геометрическое определение вероятности. Это определение вероятности обобщает классическое определение на случай, когда пространство элементарных исходов включает несчетное множество элементарных событий, и появления каждого из событий одинаково возможно. Геометрической вероятностью события А называется отношение меры (А) области, благоприятствующей появлению события, к мере () всей области

Если области представляют собой а) длины отрезков, б) площади фигур, в) объемы пространственных фигур, то геометрические вероятности соответственно равны

Пример 1.16. Рекламные объявления развешены с интервалом в 10 метров вдоль торгового ряда. Широта обзора у некоторого покупателя составляет 3 метра. Какова вероятность того, что он не заметит рекламу, если он движется перпендикулярно торговому ряду и пересечь ряд может в любой точке?

Участок торгового ряда, расположенный между двумя объявлениями, можно представить как отрезок прямой АВ (рис. 1.6). Тогда для того, чтобы покупатель заметил объявления, он должен пройти через отрезки прямых АС или ДВ, равные 3м. Если же он пересечет торговый ряд в одной из точек отрезка СД, длина которого 4м, то он не заметит рекламы. Вероятность этого события будет